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申请注册谷歌邮箱账号和密码的步骤如下。
1、访问谷歌邮箱官方网站（https://www.google.com/gmail/about/）：在网页浏览器上输入网址，进入谷歌邮箱的主页。
2、点击“创建账号”：通常这个选项会在页面的上方或下方，点击即可开始注册。
3、填写注册信息：在注册页面，需要填写姓名、用户名（邮箱地址）、密码、手机号和生日等信息，填写邮箱地址时，谷歌会自动生成一个独特的邮箱地址，也可以自行更换，密码需要包含大写字母、小写字母、数字和特殊字符等，请确保填写的手机号可以接收短信验证码。
4、验证身份：通常需要通过短信验证码或语音电话等方式验证身份，按照页面提示完成验证即可。
5、阅读并同意相关条款和隐私政策：在确认页面，需要阅读并理解谷歌的服务条款和隐私政策，然后同意这些条款才能完成注册。
6、完成注册：确认所有信息无误后，点击“完成注册”或相应的按钮，即可完成谷歌邮箱账号的注册，此时已经拥有了一个谷歌邮箱账号和密码。
由于谷歌可能会调整其网站界面或注册流程，以上步骤可能会有所变化，如果遇到问题，建议访问谷歌官方网站并按照其最新指示进行操作。